Na física, o Princípio de Hamilton, por vezes conhecido como Princípio de Mínima Ação, ou popularmente por princípio do menor esforço, estabelece que a ação - uma grandeza física com dimensão equivalente à de energia multiplicada pela de tempo (joule-segundo no S.I.) - possui um valor estacionário - é máximo, mínimo, ou um ponto de sela - para a trajetória que será efetivamente percorrida pelo sistema em seu espaço de configuração.^{[Ref. 1]}

Embora por alguns inadequadamente assumido como um princípio de mínima ação - talvez por razões históricas atrelada as primeiras proposições de princípio semelhante, entre outros por Pierre-Louis Moreau de Maupertuis - a condição extrema da ação conforme postulada pelo princípio de Hamilton nem sempre é caracterizada pela condição de mínimo. A presença de uma condição de máximo, mínimo ou sela deve a rigor ser determinada a posteriori - após conhecida a trajetória que extremiza a ação - entre outros mediante o uso do teorema de Morse, a exemplo.^{[Ref. 2]}

O princípio de Hamilton é um pressuposto básico da mecânica clássica e da mecânica relativista para descrever a evolução ao longo do tempo tanto do movimento de uma partícula ou sistema de partículas como de um campo físico. Também em mecânica quântica, Paul M. Dirac ^{[Ref. 3]}, seguido por Julian Schwinger^{[Ref. 4]} e Richard Feynman^{[Ref. 5]} construiram formulações inspiradas nesse princípio.

Histórico[editar | editar código-fonte]

A primeira formulação formal de um princípio de extremo no campo da mecânica se deve a Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1744), que disse que a "natureza é econômica em todas as suas ações". Seu princípio extremizava o que hoje se conhece por ação reduzida, que envolvia apenas um termo diretamente proporcional à energia cinética, e não a lagrangiana conforme hoje encontrada no princípio de Hamilton. A ideia geral é contudo antiga, e há milênios Heros de Alexandria (10 -70 DC) já havia proposto o conceito de raios de luz e que essa viaja sempre em linha reta quando em meio homogêneo, em clara alusão a um princípio de menor distância entre dois pontos; princípio no futuro ampliado por Pierre de Fermat, que introduziu a ideia de que os raios de luz, em situações ópticas tais como a refração e a reflexão, seguem um princípio de menor tempo, princípio esse válido ainda hoje e atualmente conhecido como princípio de Fermat em sua homenagem.^{[Ref. 2]}

Em termos históricos D'Alembert havia formulado um ano antes o princípio de d'Alembert e o conceito de trabalho virtual, o que permitiu generalizar-se as leis de Newton no que denomina-se atualmente por mecânica lagrangiana, fazendo-o de forma a permitir cálculos com escalares ao invés de vetores e a resolução de problemas envolvendo vínculos, cujas forças não são a priori conhecidas, entre outros. A mecânica de Lagrange conduziu automaticamente a equações notoriamente vinculadas ao princípio de extremo.^{[Ref. 6]}

Entre os que deram prosseguimento ao desenvolvimento da idéia de Maupertuis se incluem Euler e Leibniz. A formulação moderna do princípio de extremo no campo da mecânica conforme hoje adotada, com base na lagrangiana L = T - U, deve-se contudo a William Rowan Hamilton (1805-1865).^{[Ref. 2]}

Partindo-se do princípio de extremização da ação, esse conduz diretamente à formulação hamiltoniana e por conseguinte, via Transformada de Legendre e/ou formalismo matemático adequado, também à formulação lagrangiana da mecânica clássica.^{[Ref. 6]}

Ainda que sejam em princípio mais difíceis de se aprender, sobretudo devido à matemática atrelada, o formalismo lagrangeano e hamiltoniano têm a vantagem que suas cosmovisões são mais aplicáveis à teoria da relatividade e à mecânica quântica do que as leis de Newton; entre outros por darem enfase a grandezas escalares como energias cinética e potencial, e não às vetoriais como força e aceleração, embora não obstantes ainda presentes, se necessário.

Formulação[editar | editar código-fonte]

A integral de ação para partículas[editar | editar código-fonte]

A formulação do princípio para um sistema lagrangeano é estabelecido em um sistema de coordenadas generalizadas, que podem ou não corresponder a coordenadas do sistema cartesiano, esférico ou polar típicos, sobre o espaço de configuração - ou sobre uma parte do mesmo chamada carta local. A adoção de coordenadas atípicas ocorre quase sempre quando há vínculos no sistema, o que geralmente permite a redução do número de graus de liberdade do mesmo.

De todas as trajetórias possíveis que transcorrem entre o instante t₁ e t₂ levando o sistema de uma configuração inicial 1 a uma configuração final 2 associadas, o sistema percorrerá aquela que extremize - em grande parte dos casos a que minimiza - a ação S. A magnitude da ação atrelada a cada trajetória é determinável pela integral:

${\displaystyle S_{\left(q_{i},{\dot {q}}_{i}\right)}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L_{(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}dt}$ 

X

ΤG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

em que:

${\displaystyle q_{i(t)}\,}$ são as coordenadas paramétricas de uma trajetória possível.

${\displaystyle L_{(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}\,}$ é a função lagrangiana do sistema, definida por L = T - U, com T representando a energia cinética e U a energia potencial generalizada do sistema.

O problema resume-se, pois, em encontrar as equações horárias ${\displaystyle q_{i(t)}}$ para as coordenadas, e por conseguinte as equações para ${\displaystyle {\dot {q}}_{i(t)}}$, que extremizem ${\displaystyle S_{(q_{i(t)},{\dot {q}}_{i(t)})}}$. Isto é, procura-se por funções que extremizem o funcional S. Para encontrar tais funções há um ferramental matemático específico denominado cálculo variacional.^{[Ref. 6]}

Equações de Euler-Lagrange para partículas[editar | editar código-fonte]

Pode-se demonstrar, mediante princípios variacionais, que de todas as trajetórias possíveis, a que implica um mínimo (ou, mais apropriadamente, uma condição estacionária) para a expressão anterior é a que implica, para todo i, a seguinte situação:

${\displaystyle \delta S=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L_{(q_{i},{\dot {q}}_{i},t)}dt=0}$ 

X

ΤG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

ou seja, que a variação ${\displaystyle \delta S}$ da ação seja zero para desvios de caminhos diferencialmente próximos ao caminho efetivamente seguido para o sistema no espaço de configurações, seja esse qual for. Trata-se de um raciocínio semelhante ao empregado em funções elementares, onde, nos pontos extremos, a primeira derivada da função anula-se. O raciocínio mostra-se aqui, contudo, estendido ao domínio dos funcionais.

Desta expressão deduzem-se as equações de Euler-Lagrange, dentre elas:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0}$ ^[

X

ΤG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

a partir das quais, uma vez conhecida a lagrangiana do sistema como função das coordenadas generalizadas, pode-se determinar as equações diferenciais que levam diretamente aos ${\displaystyle q_{i(t)}}$ procurados.

AS DIMENSÕES CATEGORIAIS DE GRACELI NÃO ESTÃO RELACIONADAS COM ESPAÇO GEOMÉTRICO [LATITUDE, LONGITUDE, ALTURA], OU O TEMPO MAS COM AAS CATEGORIAS DE GRACELI [TIPOS, NÍVEIS, POTENCIAIS E TEMPO DE AÇÃO SOBRE A MATÉRIA, A ENERGIA E OS FENÔMENOS COM AS VARIAÇÕES TRANSCENDENTES E INDETERMINADAS.



COMO O EXPOSTO ABAIXO;

ΤG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

mecânica TRANSICIONAL Graceli se fundamenta nas mudanças de fases de estados, fases de isótopos, de estrutura atômica e molecular, [ FASES DE ESTADOS, ESTRUTURAS, ENERGIAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES CATEGORIAIS] com variáveis de movimentos, interações, transformações, temperatura, densidade e pressão, e outros, e conforme o sistema decadimensional e categorial Graceli [SDC Graceli]. E FENÔMENOS E ENERGIAS E VARIAÇÕES DE ESTRUTURAS QUE ACONTECEM DENTRO DAS ESTRUTURAS E ENERGIAS.


um ferromagnético sendo derretido a 300 graus Celsius tem uma realidade física e química, e com variações quântica e orbitais, elétrica, termodinâmicas, mecãnicas, e outros diferentes de um derretimento a 350 graus.

o mesmo serve para outros materiais e com outras variações levando a um indeterminismo transcendente, categorial e decadimensional Graceli.

ΤG

X

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

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         D

O sistema decadimensional e categorial Graceli pode ser visto como um outro ramo da física e da química, onde envolve condições da matéria e da energia, fenômenos e dimensões, realçados por categorias.

O único sistema que relaciona dez dimensões relacionadas com a matéria e suas energias, fenômenos e categoria.

Com isto pode-se dividir a física em quatro grandes fases:

a clássica, a quântica, a relatividade, e a categorial decadimensional Graceli.

teoria da relatividade categorial Graceli

ENERGIA, MASSA, FENÔMENOS, ESPAÇO, TEMPO, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, CONDUTIVIDADE, EMISSÕES, ABSORÇÕES, DIFRAÇÃO, MOMENTUM.

Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
x

sistema de dez dimensões de Graceli.

x

sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, 

x

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

NO SISTEMA CATEGORIAL DE GRACELI TODO TIPO DE MOVIMENTO TEM AÇÃO TRANSFORMADORA  [como os outros elementos, como temperatura, radioatividade, luz, e outros],SOBRE ESTRUTURAS E ENERGIAS, TEMPO E ESPAÇO, INÉRCIA E GRAVIDADE, LUZ .

Estados de Graceli de matéria, energias, momentuns, inércias, e entropias.


Estados térmico.
Estado quântico.
De dilatação.
De entropia.
De potencia de entropia e relação com dilatação.
De magnetismo [correntes, momentum e condutividades]..
De eletricidade [correntes, momentum e condutividades].
De condutividade.
De mometum e fluxos variados.
De potencial inercial da matéria e energia.
De transformação.
De comportamento de cargas e interações com elétrons.
De emaranhamentos e transemaranhamentos.
De paridades e transparidades.
De radiação.
Radioatividade.
De radioisótopos.
De relação entre radioatividade, radiação, eletromagnetismo e termoentropia.
De capacidade e potencialidade de resistir a pressão, a capacidade de resistir a pressão e transformar em entropia e momentum.

De resistir à temperaturas.
E transformar em dilatação, interações entre partículas, energias e campos.
Estado dos padrões de variações e efeitos variacionais.
Estado de incerteza dos fenômenos e entre as suas interações.


E outros estados de matéria, energia, momentum, tipos de inércia [como de inércia potencial de energias magnética, elétrica, forte e fraca, dinâmica, geométrica [côncava, convexa e plana] em sistema.


E que todos estes tipos de estados tendem a ter ações de uns sobre os outros, formando um aglomerado de fenômenos de efeitos na produção de novas causas. E de efeitos variacionais de uns sobre os outros, ou seja, um sistema integrado.



Sobre padrões de entropia.

Mesmo havendo uma desordem, esta desordem segue alguns parâmetros futuros e que dependem de condições dos estados de Graceli, ou seja, a desordem segue alguns padrões e ordens conforme avança e passa por fases e agentes fenomênicos, estruturais e geométricos.


Porem, a reversibilidade se torna impossível, aumenta a instabilidade e as incertezas de posição, intensidade, variações, efeitos e outros fenômenos conforme as próprias intensidades de dilatações, e agentes e estados envolvidos.


Levando em consideração que mesmo havendo ordem não é possível a reversibilidade do estado e condições em que se encontravam a energia, matéria, momentum, inércias, dimensões, e outros agentes.


A temperatura pode voltar ao seu lugar e ao seu ponto inicial, mas não as estruturas das partículas, as intensidades infinitésimas de padrões de energias, e nem o grau de oscilações que a energias, as interações, as transformações que passam estas partículas e suas energias, estruturas e interações, e as interações e intensidades de grau de variação de cada agente.


Porem, a desordem é temporal, ou seja, com o passar do tempo outras ordens e padrões se afirmarão.


Sendo que também a entropia varia conforme intensidade de instabilidade por tempo. E tempo por intensidade de instabilidade.


Assim, segue efeitos variacionais e de incertezas por instabilidade de energia adicionada, e de tempo.


Ou seja, uma grande instabilidade e desordem em pouco tempo vai levar a uma grande e instável por mais tempo uma entropia.


Do que um grande tempo com pequena intensidade de instabilidade e energia adicionada num sistema ou numa variação térmica.


Ou mesmo numa variação eletromagnética, ou mesmo na condutividade.


Princípio tempo instabilidade de Graceli.

Assim, a desordem acaba por encontrar uma ordem se não acontecer nenhuma instabilidade novamente. Pois, as partículas e energias tendem a se reorganizar novamente conforme o passar do tempo,  e esta reorganização segue um efeito progressivo em relação à desordem e tempo. Como os vistos acima.


Ou seja, aquela organização anterior não vai mais acontecer, pois, segue o princípio da irreversibilidade, mas outras organizações se formarão conforme avança o tempo de estabilidade.

as dimensões categorias podem ser divididas em cinco formas diversificadas.

tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, especificidades de transições de energias, de fenômenos, de estados de energias, físicos [estruturais], de fenômenos, estados quântico, e outros.

paradox of the system of ten dimensions and categories of Graceli.



a four-dimensional system can not define all the energies, changes of structures, states and phenomena within a structure, that is why there are ten or more dimensions, I have developed and I work with ten, but nature certainly goes beyond ten, with this we move to a decadimensional and categorial universe.



that is, categories ground the variables of phenomena and their interactions and transformations.



and with this we do not have a relationship with mass, but with structure, therefore, a structure carries with it much more than mass, since also mass is related to forces, inertia, resistances and energies.



but structures are related to transitions of physical states, quantum, energies, phenomena, and others.



as well as transitions of energies, phenomena, categories and dimensions.

paradoxo do sistema de dez dimensões e categorias de Graceli.

um sistema de quatro dimensões não tem como definir todas as energias, mudanças de estruturas, estados e fenômenos dentro de uma estrutura, por isto se tem dez ou mais dimensões, desenvolvi e trabalho com dez, mas a natureza com certeza vai alem das dez, com isto caminhamos para um universo decadimensional e categorial.

ou seja, as categorias fundamentam as variáveis dos fenõmenos e suas interações e transformações.

e com isto não se tem uma relação com massa, mas com estrutura, pois, uma estrutura carrega consigo muito mais do que massa, uma vez também que massa está relacionado com forças, inércia, resistências e energias.

mas estruturas está relacionado com transições de estados físicos, quântico, de energias, de fenômenos, e outros.

como também transições de energias, fenômenos, categorias e dimensões.

 = entropia reversível

postulado categorial e decadimensional Graceli.

TUDO QUE ESTÁ RELACIONADO COM ENERGIA, ESTRUTURAS, FENÔMENOS E DIMENSÕES ESTÁ INSERIDO NO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.


todo sistema decadimensional e categorial é um sistema transcendente e indeterminado.

matriz categorial Graceli.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         D

1] Cosmic space.
2] Cosmic and quantum time.
3] Structures.
4] Energy.
5] Phenomena.
6] Potential.
7] Phase transitions of physical [amorphous and crystalline] states and states of energies and phenomena of Graceli.
8] Types and levels of magnetism [in paramagnetic, diamagnetic, ferromagnetic] and electricity, radioactivity [fissions and fusions], and light [laser, maser, incandescence, fluorescence, phosphorescence, and others.
9] thermal specificity, other energies, and structure phenomena, and phase transitions.
10] action time specificity in physical and quantum processes.

Sistema decadimensional Graceli.

1]Espaço cósmico.

2]Tempo cósmico  e quântico.

3]Estruturas.[isótopos, estrutura eletrônica, elementos químicos, amorfos e cristalinos, e, outros.

4]Energias.

5]Fenômenos.

6]Potenciais., e potenciais de campos, de energias, de transições de estruturas e estados físicos, quãntico,  e estados de fenômenos e estados de transições, transformações e decaimentos.

7]Transições de fases de estados físicos [amorfos e cristalinos] e estados de energias e fenômenos de Graceli.

8]Tipos e níveis de magnetismo [em paramagnéticos, diamagnético, ferromagnéticos] e eletricidade, radioatividade [fissões e fusões], e luz [laser, maser, incandescências, fluorescências, fosforescências, e outros.

9] especificidade térmica, de outras energias, e fenômenos das estruturas, e transições de fases.

10] especificidade de tempo de ações em processos físicos e quântico.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

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         Ll

         D

Matriz categorial de Graceli.

T l    T l     E l       Fl         dfG l   

N l    El                 tf l

P l    Ml                 tfefel 

Ta l   Rl

         Ll

         Dl

Tipos, níveis, potenciais, tempo de ação, temperatura, eletricidade, magnetismo, radioatividade, luminescências, dinâmicas, estruturas, fenômenos, transições de fenômenos e estados físicos, e estados de energias, dimensões fenomênicas de Graceli.

[estruturas: isótopos, partículas, amorfos e cristalinos, paramagnéticos, dia, ferromagnéticos, e estados [físicos, quântico, de energias, de fenômenos, de transições, de interações, transformações e decaimentos, emissões e absorções, eletrostático, condutividade e fluidez]].

trans-intermecânica de supercondutividade no sistema categorial de Graceli.

EPG = d [hc] [T / IEEpei [pit] = [pTEMRLD] and [fao] [itd] [iicee] tetdvd [pe] cee [caG].]

p it = potentials of interactions and transformations.
Temperature divided by isotopes and physical states and potential states of energies and isotopes = emissions, random wave fluxes, ion interactions, charges and energies structures, tunnels and entanglements, transformations and decays, vibrations and dilations, electrostatic potential, conductivities, entropies and enthalpies. categories and agents of Graceli.

h e = quantum index and speed of light.

[pTEMRlD] = THERMAL, ELECTRICAL, MAGNETIC, RADIOACTIVE, Luminescence, DYNAMIC POTENTIAL] ..


EPG = GRACELI POTENTIAL STATUS.

[pTFE] = POTENCIAL DE TRANSIÇÕES DE FASES DE ESTADOS FÍSICOS E DE ENERGIAS E FANÔMENOS [TRANSIÇÕES DE GRACELI]

, [pTEMRLD] [hc] [pI] [PF] [pIT][pTFE] [CG].